2009年12月24日木曜日

ベルヌーイの警告


暮れもおしせまり、もうすぐお正月です。

友達とこたつに入ってTV三昧。
最近は同じタレントばかりですから、番組間の違いもわかりませんが、こんな会話。

一郎:「おい、暇だから賭けしない?1万円ぐらい持ってるだろう。」

由紀夫:「良いけどどんな賭け?(本当はもっともってるけど)」

一郎:「バナナマンかナイツかどっちが先に映るか。 勝ったら5000円相手から貰う。どうだ?」

由紀夫:「うーん、一郎ちゃんは賭けしたいんだ? 僕はそれほどやりたくはないなあ。何故やりたくないか説明するよ。」

由紀夫「ベルヌーイって知ってる?」

一郎:「ベルヌーイの定理なら聞いた事はあるけど、中身は知らないよ。何の関係があるんだよ。」

由紀夫:「うん。 エネルギー保存の法則で有名なんだけど、実はリスクに関しても著書があるんだ。

そこでは現代風に言うとこう説明している、

お金の価値は金額では無く、どれだけ大事(効用)かで決まる。
例えば1万円しか無い僕たちとビル・ゲイツみたいな金持ちにとっての1万円の価値は違う。

既に5億円持ってる人が宝くじで3億円当たるのと、5000万円貯金がある人が3億円当たるのでは金額は同じでもその人にとっての有難みが違う。

グラフにするとこうなる。」

一郎:「なるほど、さすが理科系だね。」

由紀夫:「このグラフは対数の形だよね。










対数で計算すると、
有難みの大きさは、エクセル式で表すと、

5000万円の人が 1.94591=LN((50+300)/50) 百万円単位

5億円の人が    0.47000=LN((500+300)/500)

因みに10万しかないと、8.517393=LN((0.1+300)/0.1)

こんな感じだ。」

一郎:「じゃ、もしオレが宝くじに当たって、同時に金持ちも当たってて、そいつが嬉しいなんて言ってたら、オレはお前の20倍ぐらい嬉しいよと言えるワケだ。」

由紀夫:「そうとも言える。」



一郎:「しかし、一体何の話をしてらっしゃるんですか。賭けの話だったろ。違いますか? ちゅうの。」


由紀夫:「そうそうごめん怒らないでね。賭けの話でした。 

1万円があって勝てば5000円もらえて、負ければ5000円なくなる。 15000円と5000円どちらも50%の確率だから、

期待値は1万円だ。 今2人とも1万円ずつ持ってるので、賭けをしても損得は無い。 本当かな?
ちょっとどれくらいハッピーかで見てみよう。

さっきのグラフを思い出して、対数で計算すると、
1万5千円 = LN(15000) = 9.62
1万円 = LN(10000) = 9.21
5千円 = LN(5000) = 8.52

勝つと 9.62-9.21 = 0.41 儲かる。 
負けると 9.21 -8.52 = 0.69 損する。

ほら、やっぱり賭けなんかするとお互いに何か損するんだよ。 やめとこうよ。」

一郎:「何かしっくりこないが、やめておくか、損するんじゃな。」

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ベルヌーイはこれを「博打を避ける自然の警告」として説明しています。

この博打の価値を確実性等価で計算すると、

LN(確実なペイオフ)=LN(勝った時の金額) x 勝ちの確率+LN(負けた時の金額) x 負けた時の確率

確実なペイオフ= exp(LN(勝った時の金額) x 勝ちの確率+LN(負けた時の金額) x 負けた時の確率)

8,660円 = exp(LN(15000) x 0.5 + LN(5000) x 0.5)

と言う事でした。大切な1万円と取り替えたりできないですよね。

しかし、どこかで見た数字ですね。

The Portable Financial Analyst より、今もう一度勉強中。

ではまた




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